WEB DEL Lic. RIGOBERTO A. BECERRA D. (MAF) 
SISTEMA FINANCIERO COMPUESTO
(continuación) Lic.
Rigoberto A. Becerra D. (MAF) i = 0,24155054 i = 24,16% Si aplicamos la fórmula del logaritmo se tiene:
Log Cn - Log Co i
= Antilog [ ------------------------ ] - 1
n Log
59.000.000 – Log 20.000.000 i = Antilog ( --------------------------------------------
) -
1
5
7,77085201 - 7,30103
i = Antilog (---------------------------------) - 1
5 i = Antilog 0.0939644
- 1
2.6.3. Fórmula para
calcular el tiempo (n) Para
calcular el tiempo (n) la fórmula resultante incluye obligatoriamente
logaritmo, ya que dicha variable aparece cono un exponente. También por altas
matemáticas será posible calcularlo, pero se saldría del objetivo de este
trabajo.
Partiendo de la fórmula fundamental del monto o también de la del
interés Compuesto, se puede desarrollar y encontrar la fórmula para calcular el
tiempo (n). Así entonces, si se sabe que Cn = Co (1 +
i ) Aplicando logaritmo en ambos miembros se tiene: Log Cn =
Log Co (1 + i )n Log Cn =
Log Co + Log (1 + i )n Log Cn -
Log Co + n.Log (1 + i) n.Log
(1 + i ) = Log Cm - Log Co de
donde se despeja n
Log Cn – Log Co n = ------------------------- Fórmula 2.9 Log (1+
i) la
cual permite ca1cular el tiempo cuando se conoce el capital inicial (Co), el
capital final (Cn) y la tasa de interés (i) El resultado del tiempo (n) viene dado o
expresado en la misma unidad en la cual está expresada la tasa de interés. O
sea, si la tasa era anual, el resultado será x años, si la tasa era semestral
el resultado será x semestres, y así respectivamente. Veamos
un ejemplo : ¿Durante cuanto tiempo debe
tenerse colocado un capital de Bs. 1.700.000,oo al 28% de interés compuesto,
para obtener un monto de Bs. 2.800.000,oo? Datos: n = ? Co = 1.700.000,oo
Bs. i = 28% Cn = 2.800.000,oo Log.Cn – Log Co Log 2.800.000,oo – Log
1.700.000,oo n = -------------------------- = ------------------------------------------------
Log (1 + i) Log (1 +
0,28) 6,44715803
- 6.23044892 0,21670911 n = ----------------------------------- =
---------------------- = 2,02135221 años 0,10720997 0,10720997 n = 2 años y 7 días 2.7. Tasa nominal, tasa efectiva y tasas
equivalentes Este es un aspecto dentro del sistema financiero compuesto
que ofrece cierto problema de comprensión a la mayoría de los estudiantes,
profesionales y demás personas relacionadas con la materia. En verdad no es
algo difícil, pero si es un tema, que aunque no se quiera, presenta ciertas confusiones, por lo que es
importante hacer el esfuerzo en comprender lo mejor posible este aspecto, ya
que será utilizado con mucha frecuencia en los diferentes temas dentro de las
finanzas. 2.7.1. Tasa nominal Como su nombre lo
indica, es la tasa que se enuncia, nomina, o acuerda entre las partes para
cualquier operación financiera convenida. Cuando el interés es convertido en capital, es decir se
capitaliza, una o más veces al año, la tasa anual dada se conoce como tasa
nominal anual o sencillamente tasa nominal. Ejemplos: -
Una
tasa de 28% convertible semestral, entonces 28% es la tasa nominal. -
Una
tasa de 24% convertible trimestral, entonces 24% es la tasa nominal -
Si se
dice solamente 25%, esto quiere decir que la tasa es convertida anualmente, por
lo que entonces 25% es la tasa nominal. 2.7.2. Tasa efectiva Como su nombre lo indica, es la tasa que efectivamente
(realmente) actúa sobre el capital en la operación financiera. En otras
palabras, es la tasa efectivamente aplicada en un año. Por ejemplo, una tasa del 28% convertible semestral, le
corresponde una tasa efectiva del
29,96% anual Una tasa del 24% convertible trimestral, le corresponde
una tasa efectiva del 26,25% anual. Una tasa del 26% convertible bimestral, le corresponde
una tasa efectiva del 28,98% anual. 2.7.3. Tasas equivalentes Son aquellas tasas anuales de interés, que con
diferentes períodos de conversión producen el mismo interés al cabo de un año. Las tasas nominal y efectiva son equivalentes cuando
producen la misma cantidad de dinero al final del año. Ejemplos: a) ¿Qué interés producirá en un año un capital de Bs.
3.000.000,oo colocados al 28% de interés convertible semestralmente? b) Qué interés producirá en un año un capital de Bs.
3.000.000,oo colocados al 29,96% efectivo anual? Los resultados son, de acuerdo con los siguientes
cálculos:
a) I = Co * [ (1 + i)n
- 1 ] = 3.000.000,oo * [ (1 + 0,28/2)2
- 1 ] = 898.800,oo Bs.
b) I = Co * [ (1 + i)n
- 1 ] = 3.000.000,oo * [ (1 + 0,2996)1
- 1 ] = 898.800,oo Bs.
Como ambas tasas
producen la misma cantidad de intereses al cabo de un año se dicen que son
tasas equivalentes. 2.7.4. Simbología a utilizar para las tasas
nominal y efectiva La simbología que se utiliza en el presente trabajo, la
cual coincide con casi todos los autores sobre la materia, es la siguiente: i=
Tasa efectiva anual j = Tasa nominal anual m = Número de capitalizaciones (conversión)
por año 2.7.5. Relación entre la tasa nominal y la tasa
efectiva De lo que se ha visto hasta ahora en relación con las
tasas de interés nominal y efectiva, se deduce que debe existir una relación
matemática entre ellas, la cual es importante exponer, ya que así se podrá
calcular una de estas tasas cuando se conozca la otra. Veamos como se determina esa relación: -
Si la
tasa nominal por año es j y se capitaliza m veces al año, la tasa de interés
por período será entonces: j_ m -
La tasa
efectiva será entonces i -
Por
definición se dijo que la tasa nominal (j)
y la tasa efectiva (i) son
equivalentes cuando ambas producen la misma cantidad de dinero en un año. O
sea: Co * (1 + i)n -
1 = Co * (1 + j/m)n*m - 1 Como n es igual a
1, se tiene, una vez simplificado el
capital inicial (Co) que es el mismo y aparece en ambos miembros de la
ecuación: (1 + i)
- 1 = (1 + j/m)m - 1 (1 + i) = ( 1 + j/m)m
despejando
i: i = (1 + j/m)m -
1 Fórmula 2.10 la cual permite calcular la tasa
efectiva (i) cuando se conoce la tasa nominal (j). Ahora bien, si de esta fórmula se
despeja la tasa nominal (j), se
tiene:
j = m*[
(1 + i)1/m - 1 ] Fórmula 2.11 La que permite calcular la tasa
nominal (j) cuando se conoce la tasa efectiva (i) Veamos
como se aplican estas fórmulas. Problemas: a) Calcular la tasa efectiva de interés
equivalente a una tasa nominal del 26%
convertible semestralmente. b)
Si la
tasa efectiva es del 30%, calcular la tasa nominal convertible trimestral, equivalente. Resolución del a) Datos: i = ? j =
26% m = 2
i = 0,2769 i = 27,69% Resolución del b) Datos: i = 30% m = 4 j = ?
j = 0,2712 j =
27,12% convertible trimestral De los
dos ejemplos planteados y de otros ejercicios que el lector haya resuelto, se
podrá haber dado cuenta que la tasa de interés efectiva (i) siempre es mayor
que la tasa de interés nominal (j), siempre y cuando la capitalización de los
intereses sea más de una vez en el año, o sea que m sea > 1. Esto coincide
con el concepto.
De lo anterior se deduce que la tasa de interés nominal (j) y la tasa de
interés efectiva serán iguales, si y sólo si m = 1, o sea cuando los intereses se convierten en capital una sola
vez al año, o sea cuando se dicen capitalizable o convertible anual.
Ejercicios propuestos para prácticas a)
Calcular
la tasa de interés efectiva equivalente a una tasa nominal del 32% convertible
trimestralmente. b)
Calcular
la tasa de interés efectiva equivalente a una tasa nominal del 32% convertible
mensualmente. c)
Calcular
la tasa nominal de interés convertible semestralmente, equivalente a una tasa
efectiva del 35%. d)
Calcular
la tasa nominal de interés convertible bimestral, equivalente a una tasa
efectiva del 23%. e)
Calcular
la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa del 34% convertible
anualmente. 2.8. Tasas
proporcionales
La tasa proporcional de interés es la que resulta de dividir la tasas
efectiva de interés del período entre el número de veces que se capitalizan los
intereses en ese período.
En otras palabras, la tasa proporcional es aquella que capitalizada en
forma subperiódica, nos dá al final del plazo de colocación un monto mayor al
que se obtiene con la tasa nominal periódica.
Así entonces, la tasa proporcional es por definición i/m, donde i es la tasa efectiva anual y m la cantidad de
subperíodos. Por ejemplo:
Si se tiene una tasa anual de 18% que se capitaliza trimestralmente, la
tasa proporcional capitalizable trimestral es 4,5% 2.9. Fórmulas fundamentales del interés compuesto con capitalización
periódica
Después de haber visto y comprendido las diversas implicaciones de las
tasas efectiva, nominal y equivalentes,
es fácil entonces que se pueda concluir que estos conceptos deben ser aplicados
en las fórmulas fundamentales o generales del Sistema Financiero Compuesto, o
sea para el cálculo del Interés, del Monto y de las fórmulas de ellas
deducidas.
Así, la única variación que experimentarán dichas fórmulas será en el
período de capitalización y por tanto se modificaría, por ejemplo en la fórmula
del interés, así: I = Co * [ (1 + i/m)n*m
- 1 ] Fórmula 2.12 Y así respectivamente para todas las demás
fórmulas antes desarrolladas en páginas anteriores., lo cual permitirá hacer
los respectivos cálculos en n períodos
con m capitalizaciones ( o conversiones)
en cada período. 2.10. Utilización de tablas financieras
Con la finalidad de economizar trabajo y tiempo a toda aquella
persona que debe realizar cálculos u
operaciones a interés compuesto, se han construido tablas numéricas que
contienen el resultado de varias de las fórmulas aquí planteadas, ya que en
muchas ocasiones estos cálculos resultan largos y complicados.
Así entonces, se han desarrollado tablas financieras donde se obtiene rápidamente el resultado del
factor de capitalización ( 1 + i )n o el
factor de actualización (1 + i)-n donde
pueden encontrarse el valor de cualquiera de estos factores para diferentes
períodos n, a la tasa de interés (i), por lo que una vez sustituido este valor
en la respectiva fórmula se pueden efectuar los cálculos correspondientes.
Sin embargo, como ya se dijo para el sistema financiero simple, estas
tablas han perdido un poco su importancia y utilización debido al uso de las
máquinas calculadoras financieras, que permiten también, y de manera más rápida
y exacta, efectuar los cálculos pertinentes. De todas formas, es bueno recalcar
la importancia de su conocimiento y manejo, por si es necesario utilizarla en
cualquier oportunidad, o por si se quiere preparar tablas específicas para cada
empresa, de operaciones financieras rutinarias.
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