Constituye el Interés compuesto otro sistema de
capitalización de los intereses producidos por un capital invertido durante
determinado tiempo
Es un sistema con características, principios y
modelos propios, que lo diferencian de los otros, todo lo cual lo hacen de gran
utilidad en los diferentes cálculos que se realizan diariamente. Estas diferencias es necesario tenerlas en
cuenta y comprenderlas de la mejor
manera posible, para obtener mayor eficiencia en su aplicación, dado su
continuo uso en diversos campos.
2.2. Concepto
Debe entenderse que un capital está sometido a
un régimen de interés compuesto, si los intereses producidos por el capital se
incorporan al mismo al final de cada período o de ciertas fechas
preestablecidas.
En
otras palabras, los intereses que devenga
el capital se capitalizan, es decir, se agregan al capital inicial que los produjo, para producir los intereses y
así sucesivamente en una progresión geométrica. De aquí se implica que los
intereses generan intereses, característica esta muy importante que diferencia
al interés compuesto del interés simple.
Entonces
según lo anterior, el interés puede ser convertido en capital bien sea
anualmente, semestralmente, trimestralmente, etc, es decir, en cada período
convenido, surgiendo así dos conceptos básicos que es necesario comprender y
tener en cuenta, los cuales son:
Frecuencia de conversi6n: Es el número de veces que en un año el interés es convertido en
capital. Por ejemplo: Se paga una tasa de interés del 24% convertible
semestralmente; esto indica que cada semestre el interés se convierte en
capital y por lo tanto la frecuencia de conversión es 2 ya que un año tiene 2 semestres,
por lo que los intereses se convierten en capital dos veces durante el año.
Cuando no se indica expresamente el periodo de conversión, debe entenderse que
la tasa es de conversión anual, o sea que los intereses se convierten anualmente. Ejemplo: Una tasa del 28%
Período de conversión: Es el período comprendido entre dos
conversiones o capitalizaciones sucesivas. Ejemplo: En el primer ejemplo
expuesto anteriormente, el período de conversión es 6, ya que es cada 6 meses
cuando se realiza la conversión y por lo tanto es el tiempo transcurrido entre
una y otra conversión.
2.3. Interés compuesto
Igual que en el Interés simple, el Interés compuesto viene
dado por la diferencia entre el Capital final
o Monto (Cn) y el Capital inicial (Co). O sea:
I = Cn - Co Fórmula 2.1
La diferencia con el interés simple, es que el capital
final o monto ha sido calculado en base al régimen de capitalización compuesta,
por lo que se debe entonces hallar este para poder calcular el interés
compuesto.
2.4. Monto a interés compuesto
El
Monto a Interés Compuesto viene dado por:
Cn = Co (1
+ i)n Fórmula 2.2
donde
el factor ( 1 + i )n es el Monto compuesto de 1 a la tasa de interés (i) por período por n períodos de conversión.
2.5. Fórmula para el interés
compuesto
Conociendo ya la fórmula del monto a interés
compuesto tal como sigue:
Sabemos
que I
= Cn - Co pero Cn = Co* ( 1+
i )n
Entonces
sustituyendo a Cn queda:
I = Co * ( 1 + i )n -
Co
Y
sacando factor común, queda:
I = Co*[(1 + i)n - 1 ] Fórmula 2.3
La
cual permite calcular directamente el
interés compuesto sobre un capital inicial (Co) a la tasa de interés (i)
durante el tiempo (n). O sea, puede calcularse el interés compuesto cuando se
conoce el capital inicial, la tasa de interés y el tiempo.
Veamos un ejemplo:
Problema: ¿Cuál
será el interés compuesto sobre un capital de l.000.000,oo Bs. al 30% de
interés compuesto colocado durante 3 años.
Datos:
I-? Co = 1.000.000,oo
Bs i = 28% anual n= 3 años
Aplicando la fórmula se
tiene:
I = Co*[(1+i)n – 1]
I = 1.000.000,oo*[(1+0,28)3 – 1]
I
= 1.000.000,oo * [(2,197) –
1]
I = 1.000.000,oo * 1,197
I = 1.197.000 Bs.
Ahora
bien, este problema también puede resolverse calculando primero el
Monto o capital final (Cn) y después aplicando la fórmula general del Interés,
o sea; I - Cn - Co pero resulta más laborioso.
Veamos:
Cn
= Co* (1 + i)n
Cn =
1.000.000,oo * ( 1+ 0,30)3
Cn =
1.000.000,oo * (2,197)
Cn = 2.197.000,oo Bs.
Entonces como
I = Cn – Co, se tiene:
I = 2.197.000,oo – 1.000.000,oo
I = 1.197.000,oo Bs.
Por otra parte, aunque raro, puede, presentarse
el caso donde se requiere calcular el Interés
Compuesto y sólo se conozca el
monto (Cn), la tasa de interés (i) y el tiempo (n), por lo que no se puede aplicar
la fórmula anterior 2.3, sino que se tiene que calcular primero el Capital
Inicial mediante lo fórmula 2.2 del monto y después si aplicar o bien la
fórmula anterior, o bien la fórmula 2.1, o sea: I = Cn - Co, todo lo
cual resulta un tanto laborioso, por lo que entonces posible que su busque una
fórmula que permita calcular directamente el interés compuesto (I) en función de las tres variables
mencionadas.
2.6. Fórmulas deducidas de las fundamentales
Igual
como se hizo en el interés simple, a partir de las fórmulas fundamentales o
principales del interés compuesto se pueden deducir las fórmulas para hallar
directamente cada una de las variables que intervienen en ellas. Así entonces,
mediante sencillos despejes matemáticos se puede determinar las fórmulas para
calcular el capital inicial (Co), la
tasa de interés (i) y el tiempo (n).
Es
bueno sin embargo, volver a recordar que esto no es absolutamente necesario, es
decir, no es necesario que se tengan ya despejadas estas fórmulas, ni mucho
menos memorizarlas, ya que basta con conocer las fórmulas fundamentales, para
resolver cualquier problema que se presente, cualquiera sea la incógnita del
mismo, ya que de ellas se podrán despejar cuando sea necesario. Así entonces,
debe entenderse que la deducci6n de las respectivas fórmulas sólo se hace para
facilitar y aligerar los cálculos. De tal forma se tiene:
2.6.1. Fórmula para calcular el capital inicial o valor actual (Co)
Como
ya vimos antes si de la fórmula
del monto se despeja la variable
Co, queda:
Co =
Cn / (1 + i) n
o
también Co = Cn* (1 + i)-n Fórmula 2.5
La
cual permite calcular el capital inicial o valor actual cuando se conoce el
valor final o monto, la tasa de interés y el tiempo. En otras palabras,
permite calcular el valor actual de un capital futuro.
Por
otra parte se tiene: Si de
I = Co
* [ (1 + i)n - 1]
se
despeja Co, queda:
Co = I /[ (1 + i)n
- 1 ]
La cual permite calcular el capital
inicial o valor actual (Co) cuando se conoce el interés, la tasa de interés y
el tiempo.
Co = Cn / (1+ i) n
o
también Co = Cn* (1 + i)-n Fórmula 2.5
En
nuestro medio mercantil venezolano cuando se habla del valor actual de una
deuda, se entiende que se refiere al régimen de interés compuesto, y se utiliza
el término para designar la cantidad de dinero que ha de pagarse actualmente
(en el día de hoy) como cancelación da una deuda que vence en el futuro.
Veamos una ejemplo de aplicación de la fórmula:
Problema: Calcular cl capital que colocado al 26% de interés compuesto produjo o alcanzó en 5 años la cantidad de 15.000.000,oo Bs. de monto final.
Datos
Co = ?
i = 26%
n = 5 años
Cn = 15.000.000,oo Bs.
Aplicando la fórmula del valor actual , tenemos:
Co = Cn / (1 + i) n
Co = 15.000.000 / (1 + 0,26) 5
Co = 15.000.000 / 3,1757969376
Co = 4.723.233,90 Bs.
2.6.2. Fórmula para el cálculo de la tasa de interés
De la fórmula fundamental del interés compuesto se puede despejar la tasa de interés (i) de acuerdo con el siguiente procedimiento:
Si de Cn = Co * ( 1+ i )n se desarrolla la fórmula, queda:
Cn
( 1 + i )n = -----------
Co
Si se elevan ambos miembros a (1/n), entonces queda:
Cn
[ ( 1+ i )n ](1/n) = (Cn / Co)(1/n)
Co
Fórmula 2.7.
Fórmula que permite calcular la tasa de interés (i) cuando se conoce el capital final o monto (Cn), el capital inicial (Co) y el tiempo (n); o también cuando se conoce el Interés (I), el capital inicial y el tiempo.
El lector podrá comprobar por su cuenta, que si se parte de la fórmula del Interés se llegará también a la última de las fórmulas arriba expuestas.
Por otra parte, también puede hallarse o calcularse la tasa de interés (i) en el régimen de capitalización compuesto, mediante la aplicación de logaritmos, lo cual ha caído en desuso debido a que las máquinas calculadoras actuales pueden obtener cualquier raíz n. Sin embargo, es útil que se conozca la fórmula ya despejada cuando se aplica logaritmo, por si es necesario aplicarla o utilizarla en determinado momento. Así se tiene:
i = Antilog { [ (Log Cn - Log Co )/n ] -1}
Fórmula 2.8
Veamos un ejemplo:
¿ A qué tasa de interés compuesto se colocaron 20.000.000,oo Bs. si al cabo de 5 años se obtuvo un monto do 25.000.000,oo Bs.?
Datos:
i = ? Co = 20.000.000,oo Bs.
n = 5 años
Cn = 59.000.000,oo Bs.
Si se aplica la fórmula de la raíz se tiene:
[Inicio][Curriculum][Cursos][Aula Virtual][Contacto]
