3.1. CONSIDERACIONES GENERALES

En el mercado bursátil los inversores también tienen la alternativa de formar una cartera de valores, pues tiene a su disposición varios tipos de títulos y muchos de ellos con diferentes características en cuanto a rentabilidad, riesgo y liquidez.

Ahora bien, ¿qué es una cartera de valores?; ¿cuál es la finalidad de su conformación; ¿cómo analizar los resultados de una cartera de valores?, son aspectos importantes de conocer por cualquier persona interesada de invertir en este mercado, ya que de esta manera podrá tomar mejor sus decisiones y así aumentar la probabilidad de obtener resultados más adecuados.

Según R. Stevenson y E. Jennings (1) "Una cartera consiste de uno o más activos, los cuales son tenidos por los inversores por propósitos más bien de inversión que de consumo".

Por su parte Andrés Suárez y Suárez (2) expone:

"Por cartera de valores se entiende una determinada combinación de valores mobiliarios adquiridos por una persona física o jurídica, y que pasan, por tanto, a formar parte de su patrimonio. En ella se incluyen no sólo los valores mobiliarios en sentido estricto (acciones, obligaciones, fondos públicos, etc.) sino también cualquier otro tipo de activos financieros. Y cabe también la posibilidad de que la cartera esté formada por un único activo financiero (por ejemplo, acciones de la Telefónica), si bien en la cuantía que el inversor decida en función de sus ahorros o posibilidades crediticias".

De acuerdo con lo anterior, varias decisiones deben ser tomadas antes de conformar una cartera de valores. Una de las principales tiene que ver con los tipos de títulos que conformarán la cartera; también la cantidad de títulos y otra sería sus características. Estas decisiones, por supuesto, depende de varios factores, tales como la experiencia, la educación bursátil, el entrenamiento y también de características personales del inversor, así como sus objetivos.

En relación con los objetivos en la conformación de carteras Andrés Suárez y Suárez (3) señala:

"Con la formación de una cartera, tanto si se trata de un particular como de una empresa o de un organismo público, se pueden perseguir distintos objetivos: 1) reunir un cierto número de acciones de una determinada empresa con fines de control; 2) colocar unos ahorros transitoriamente ociosos con una rentabilidad y liquidez aceptables; 3) sustraer unos ahorros de los efectos de la erosión monetaria, invirtiendo para ello en valores de renta variable, cuya rentabilidad guarde estrecha correlación positiva con el índice general de precios; 4) colocar de forma duradera los excedentes de ahorro con el objeto de disfrutar de una renta complementaria de la renta del trabajo, en especial después de la jubilación, y 5) otros motivos, entre los que hay que mencionar el `coleccionismo`, tan estrechamente ligado a lo que modernamente se viene denominando `economía del ocio'. En general, el inversor a la hora de formar una cartera de valores trata de combinar los diferentes activos individuales de tal modo que el activo mixto o cartera le garantice una `rentabilidad', `seguridad' y `liquidez' aceptables".

Normalmente se señala que uno de los objetivos que se persigue al formar una cartera con más de un título valor, o sea diversificando, es el de disminuir o eliminar el riesgo. En este sentido R. Brealey y S. Myers (4) exponen: "El riesgo es lo primero que debe evaluarse en un contexto de cartera. La mayor parte de los inversores no ponen sus huevos en la misma cesta: diversifican. De esta manera el riesgo efectivo de cada título no puede juzgarse analizando cada título por separado. Parte de la incertidumbre acerca de la rentabilidad de los títulos es siempre diversificada cuando se agrupan los títulos con otros en una cartera".

Por otra parte, L. Ezcurdia Elola en relación con la selección de títulos valores por un inversor expresa que la selección de valores en que invertir los ahorros es un asunto especialmente personal, donde a los compradores de acciones, obligaciones u otros títulos les guían motivaciones o impulsos muy diversos, derivados en gran parte de sus sentimientos personales, de modo que no es válida ninguna receta de carácter general, ya que determinada colocación susceptible de interesar a un inversor deja de atraer a otro. Para quien tiene poca o ninguna experiencia bursátil no pueden hacerse afirmaciones categóricas en cuanto a los valores con que ha de formar inicialmente su cartera, ya que, en todo caso, han de considerarse las condiciones personales del inversor y las circunstancias personales que en el puedan concurrir. Jugarán, por tanto, en el consejo los factores de edad, posición económica, compromisos familiares, temperamento, etc. El carácter y temperamento del inversor es factor importante, ya que los hay decididos y arriesgados al lado de otros que son cobardes a estos efectos o, acaso peor, indecisos e irresolutos. (5)

3.2. TEORIA DE CARTERAS

Varios autores del campo de la inversión financiera ocupan lugar destacado en el estudio e investigación relacionado con la teoría de la selección de carteras, llamada más comúnmente como Teoría de Carteras. Entre estos autores destacan Harry Markowitz, James Tobin, William Sharpe, John Lintner, J. L. Treynor, J. L Evans, S. H. Archer y otros, quienes en su momento realizaron el aporte respectivo a la teoría, despertando gran interés académico y profesional y siendo de gran ayuda para los inversores contemporáneos, tanto a título individual como si se trata de formas jurídicas, ya que pone a disposición una serie de conocimientos sistematizados que ayudan a la toma de decisiones de inversión.

De la teoría de cartera Weston y Brighan señala: "Una cartera se define como una combinación de activos. La teoría de cartera trata de lo siguiente: selección de carteras óptimas, es decir, carteras que proporcionan el rendimiento más alto posible en cualquier grado de riesgo o el riesgo más bajo posible en cualquier tasa de rendimiento (6)

Asimismo, se expone que "Un aspecto fundamental de la teoría de cartera es la idea que el riesgo inherente de un simple activo tenido en una cartera es diferente del riesgo de ese activo tenido en aislamiento".(7)

En este orden de ideas, el objetivo del análisis de carteras es localizar aquella combinación de títulos valores que ofrecen el mayor rendimiento esperado para un dado nivel de riesgo, ya que una cartera que satisfaga este objetivo es una cartera eficiente, en el sentido de que toda otra combinación de valores ofrece un más bajo rendimiento esperado para ese mismo nivel de riesgo. El conjunto de carteras eficientes es lo que se denomina frontera eficiente y todas las carteras en esta frontera eficiente dominan a todas las demás carteras que están bajo esa frontera. Entonces, el objetivo del análisis de carteras es determinar esa frontera eficiente, ya que una vez hecho esto los inversores pueden decidir donde ellos desearán estar en esa frontera eficiente, lo cual dependerá de la disposición de cada inversor para intercambiar riesgo por rendimiento esperado.

En relación con lo anterior, antes de entrar a la parte cuantitativa del análisis de carteras, es importante exponer algunos aspectos que soportarán ese análisis y que interesa conocer al inversor.

3.2.1. PRINCIPIO DE DOMINANCIA

El principio de dominancia establece que entre todas las inversiones con un igual nivel de rendimiento esperado, la más deseable es la de menor riesgo; y entre todas las inversiones con un mismo nivel de riesgo, la más deseable es aquella con la más alta tasa de rendimiento esperada. Esto es importante conocer tanto para el inversor individual como para el administrador de carteras, a la hora de tomar de decisiones, ya que le permite disponer de un nuevo conocimiento en relación con las alternativas disponibles.

Así, cuando el administrador de cartera está analizando el rendimiento y el riesgo de varios títulos: acciones, bonos, opciones, etc., para decidir cuáles valores deben estar en la cartera, racionalmente debe usarse el principio de dominancia, seleccionando aquellas que dominan y descartando aquellas que son dominadas.(8)

Así, en la figura No 3-01, dada la asunción anterior de que los inversores prefieren el mayor rendimiento esperado y desean evitar riesgo, es entonces racional que cualquier inversor preferirá el título B al título D, ya que el B ofrece más alto rendimiento que el D con un mismo nivel de riesgo. Igualmente, si se compara el título B con el título C, es también claro que cualquier inversor preferirá el título B, ya que a pesar de ofrecer el mismo nivel de rendimiento, el título B tiene menos riesgo. Asimismo, cualquier inversor preferirá el título B en comparación con el E, debido a que B ofrece tanto más rendimiento esperado como menor riesgo. También queda claro que cualquier inversor preferirá D contra E y C contra E, ya que ofrecen mejores resultados en términos de riesgo y rendimiento

De acuerdo con las anteriores relaciones, que ayudan a entender el principio de dominancia, Robert W. Kolb (9) expresa: "Un título domina a otro si al menos se encuentra una de las siguientes tres condiciones: 1) Si un determinado título ofrece más alto rendimiento esperado y el mismo nivel de riesgo que un segundo título, entonces el primer título domina al segundo; 2) Si un determinado título tiene el mismo rendimiento esperado pero un más bajo riesgo que un segundo título, entonces el primer título domina al segundo, y 3) Si un determinado título tiene tanto un rendimiento esperado más alto como un riesgo más bajo que un segundo título, entonces el primer título domina al segundo".

En la figura 3-02 el título B domina a D y C domina a E, por la primera condición. Por su parte B domina a C y D domina a E, por la segunda condición y finalmente B domina a E por la tercera condición. Nótese también que las relaciones de dominancia son transitivas, porque B domina a D y D domina a E, entonces necesariamente se cumple que B domina a E. Esto es importante de ser conocido por quien tiene la responsabilidad de seleccionar los títulos valores para una cartera.

3.2.2. ACTITUD DEL INVERSOR FRENTE AL RIESGO

De acuerdo con la preferencia o actitud del inversor frente al riesgo se puede dividir los inversores en tres principales clases: 1) adversos al riesgo, 2) neutrales al riesgo, y 3) amantes del riesgo. El adverso al riesgo, el cual es el más común tipo de comportamiento evidenciado por los inversores, enfrenta lo que es conocido como la utilidad marginal decreciente del rendimiento, mientras que los neutrales al riesgo tienen una constante utilidad marginal del rendimiento y, los amantes al riesgo, por su parte, exhiben incremental utilidad marginal del rendimiento. (10)

Al respecto, Andrés Suárez Suárez (11) señala:

"Entre las carteras `eficientes' el inversor eligirá aquella que mejor responde a sus preferencias. Unos inversores preferirán una ganancia mayor aunque para ello tengan que soportar mayor riesgo, otros se conformarán con una ganancia menor a cambio de un riesgo también inferior, etc. Para determinar la cartera óptima del inversor hay que especificar sus curvas de indiferencia entre ganancia y riesgo, cuya forma dependerá de su función de utilidad, y ésta será naturalmente distinta para cada inversor".

La función de utilidad describe las preferencias de un inversor. En la inversión en cartera se supone que la utilidad del inversor depende únicamente de dos parámetros o características de la variable aleatoria rentabilidad, los cuales son: el rendimiento medio esperado (medido por la esperanza matemática) y el riesgo (medido por la varianza). De acuerdo con esto, el inversor actúa presionado por dos fuerzas de sentido opuesto traducidas en: la satisfacción que le produce la renta que espera obtener y la insatisfacción derivada del riesgo que la obtención de esa renta comporta. Su función de utilidad viene dada por U = F(Ep, Var(p)), donde U es el índice de utilidad o satisfacción, F es el operador de la función de utilidad y Ep y Var(p) son las variables explicativas. (12)

Ver las figuras Nos. 3-03 y 3-04, las cuales ilustran sobre las preferencias de riesgo del inversor y sobre las curvas de indiferencia, respectivamente.

3.3. RENDIMIENTO Y RIESGO DE UNA CARTERA

Para el estudio cuantitativo y determinación del rendimiento y riesgo de una cartera de valores, se expondrán dos modelos formulados por autores investigadores de esta área de conocimiento, a saber: el modelo de selección de carteras de Harry Markowitz y el modelo simplificado de William Sharpe.

El primero, porque como lo expone Andrés Suárez Suárez (13) "La teoría de selección de cartera y la consiguiente teoría del equilibrio en el mercado de capitales nació en realidad en 1952 con un conocido trabajo de Harry Markowitz, titulado Portfolio Selection, al que se le prestó muy poca atención, hasta que dicho autor publicó una obra, en 1959, en la que presenta con mayor detalle su formulación inicial".

El segundo porque, completando los estudios de Markowitz, hace una suposición, con el objeto de facilitar la aplicación práctica del modelo de Markowitz, la cual tuvo importantes repercusiones de índole teórica y práctica.

En cuanto a estos dos modelos, Cohen y Pogue (14) mostraron que el método de determinación de las carteras eficientes, basado en el modelo de mercado, daba tan buenos resultados como el método más general de Markowitz. Comparando las fronteras eficientes obtenidas primeramente utilizando la programación cuadrática y luego el método simplificado de Sharpe, han hallado resultados prácticamente iguales".

En este orden de ideas, se expondrá primero el modelo de Markowitz para determinar el rendimiento y el riesgo de una cartera de valores, realizando algunos ejemplos. Después se tratará el modelo simplificado de Sharpe.

3.3.1. EL MODELO DE SELECCION DE CARTERAS DE MARKOWITZ

El modelo de selección de carteras de Markowitz constituyó un importante hallazgo, no sólo por el modelo en si mismo, con una proyección de tipo práctico evidente, sino también por las repercusiones de índole teórica en el campo de la economía financiera.

En relación con este modelo, Andrés Suárez Suárez (15) señala:

"La principal aportación de Markowitz, se halla, sin restar méritos a su tratamiento analítico que sin duda los tiene, en haber recogido de forma explícita en su modelo los rasgos fundamentales de l que en un principio podemos calificar de conducta racional del inversor, consistente en buscar aquella composición de la cartera que haga máximo su rendimiento para un determinado nivel de riesgo, o que minimice el riesgo de aquella para un rendimiento dado. El inversor se halla en efecto presionado por dos fuerzas de sentido opuesto: la deseabilidad de las ganancias y la insatisfacción que le produce el riesgo. Y en cada situación concreta tendrá que optar por una determinada combinación 'ganancia riesgo', en función de sus preferencias personales. Como medida del rendimiento de la cartera utiliza Markowitz la media o esperanza matemática del rendimiento que el inversor espera obtener en el futuro, que sólo se conoce en términos de probabilidad, y como medida de riesgo la desviación típica o estándar. De aquí que al modelo de Markowitz se le conozca también bajo la denominación de modelo de inversión de dos dimensiones, y también como el modelo de decisión media-desviación típica".

Por su parte Jack Clark F. (16) expone: "El análisis de carteras de Markowitz es esencialmente un problema matemático, el cual requiere que muchas diferentes ecuaciones matemáticas sean resueltas simultáneamente. Esto puede ser realizado sobre una gran escala sólo usando un programa de computación ya que conlleva programación cuadrática.

3.3.1.1. RENDIMIENTO DE LA CARTERA

La determinación del rendimiento de una cartera es en verdad muy sencilla. Es simplemente el promedio ponderado del rendimiento esperado de los títulos valores individuales contemplados en la cartera, cada uno pesado por la proporción de dinero invertido en cada título. Es decir:

Ecuación3-01

donde:

ERc = Rendimiento esperado de la cartera>

ERi = Rendimiento esperado del título i

Wi = Proporción de dinero invertido en el título i

N = Número de títulos en la cartera.

Ejemplo: Considérese un título A con un rendimiento esperado del 45% y el título B con un rendimiento esperado del 52%.. El rendimiento esperado para una cartera igualmente pesada (es decir donde se invierte igual peso en cada título valor) vendrá determinada según el siguiente cálculo:

ERc = 0,50*0,45 + 0,50*0,52

ERc = 0,485 ó 48,5%

Si se incrementa la proporción invertida en el título B (por tener el mayor rendimiento esperado) a 60%, por ejemplo, entonces el rendimiento esperado de la cartera será:

ERc = 0,40*0,45 + 0,60*0,52

ERc = 0,492 ó 49,2%

Como puede verse en los dos ejemplos anteriores, si se invirtiera todo el dinero disponible en el título valor B, se obtendría un rendimiento esperado del 52,00%, mayor que el obtenido en ambos casos cuando se combina, en diferentes proporciones, en una cartera con el título valor A. De aquí puede inferirse que siempre el rendimiento esperado de una cartera, de dos o más títulos, es menor que el rendimiento esperado del título (o de los títulos que se consideran) que tiene el mayor rendimiento esperado. En ese momento cualquier inversor preguntaría porqué entonces no invertir en ese o en esos títulos?. La respuesta es que aún no puede concluirse pues no se ha considerado el riesgo de cada título y por supuesto el riesgo de la cartera.


3.3.1.2. RIESGO DE LA CARTERA

El cálculo del riesgo de la cartera no es tan sencillo como el de la cartera ya expuesto en la ecuación 3-01. Al principio pudiera pensarse que el riesgo de la cartera es simplemente el promedio ponderado de la varianza de los títulos individuales contemplados en la cartera, lo cual no es cierto pues estaría ignorando la interrelación entre cada par de títulos en cuanto a sus rendimientos, ya que dos títulos, cuyos rendimientos esperados se mueven en sentido contrario uno a otro, al combinarse en una cartera ocasionan o contribuyen a que la varianza de la cartera sea menor que la varianza de cualquiera de los dos títulos considerados individualmente.

Varios estudios han demostrado que reducción en el riesgo de una inversión ocurre cuando títulos valores son incluidos, de manera aleatoria, en una cartera. Así, Evans y Archer (17) mostraron que el riesgo no sistemático puede ser reducido sustancialmente mediante la combinación aleatoria de entre 9 a 15 títulos valores, lo cual ocurre debido a que una selección aleatoria envuelve la combinación de títulos los cuales son menos que perfectamente correlacionados de manera positiva.

Sin embargo, Markowitz (18) enfatizó no en combinaciones aleatorias, sino más bien en combinaciones selectivas de títulos, los cuales sean menos que perfectamente correlacionados positivamente.

En este orden de ideas, es importante recordar aquí que la covarianza ij y el coeficiente de correlación Rij son estadísticos utilizados para medir la interrelación entre dos variables, en este caso entre cada par de rendimientos esperados.

La covarianza es definida matemáticamente como:

Ecuación3-02

La covarianza es positiva si tanto el rendimiento esperado del título i como del título j es superior a la media, o viceversa, por lo que dos títulos valores con una covarianza positiva tienden a moverse (en promedio) en el mismo sentido. Por el otro lado, una covarianza negativa indica que los dos títulos valores tienden a moverse en sentido contrario uno al otro.

La otra utilizada es el coeficiente de correlación (Rij), el cual es una medida de asociación entre dos variables. El es una medida de la covarianza de dos títulos valores en relación con la desviación estándar de cada título.

Matemáticamente el coeficiente de correlación se determina por:

Ecuación3-03

Pues bien, después de este breve recordatorio, el riesgo de la cartera es definido, según el modelo de Markowitz, de la siguiente forma matemática:

Ecuación3-04

o también puede expresarse:

Ecuación3-05

donde: Wi = proporción del título i en la cartera

Wj = proporción del título j en la cartera

ij = Covarianza entre los títulos i y j

rij = Coeficiente de correlación entre los títulos i y j

i = Riesgo del título i (desviación estándar del título i)

j = Riesgo del título j (desviación estándar del título j)

N = Número de títulos en la cartera.

La doble sumatoria () significa que N² términos deben ser sumados, usando cada combinación de términos, después de la doble sumatoria. Por ejemplo, para N=2, quiere decir que cuatro términos (2²) son adicionados, mientras que para N=3, nueve términos (3²) son adicionados. Es decir:, para N=2 se tiene:

c² = W1²1² + W2²2² +W1W111 + W1W212 + W2W222 + W2W121

o lo que es lo mismo si se expone de la manera siguiente:

c² = W1²1² + W2²2² + 2W1W212

y así sucesivamente dependiendo del número de títulos en la cartera.

Una manera práctica de saber los términos necesarios para el cálculo del riesgo de una cartera es la que expone R. Brealey y S. Myers (19) cuando señala que para hallar la varianza de una cartera de N acciones se tiene que sumar una matriz como la que se expone en la figura 3-05, donde las casillas de la diagonal contienen los términos en varianza ( Wi²i²) y las casillas de fuera de la diagonal contienen los términos en covarianza (WiWjij).

  ACCION 1                   W₁²₁²                                W₁W₂r_1,22

  ACCION 2              W₁W₂r₁₂₂                               W₂²₂²

Así, en el ejemplo arriba expuesto, donde N = 2, el cálculo del riesgo de la cartera, considerando el riesgo de A = 6,5% y el riego de B = 10%, con un coeficiente de correlación de – 0,27, según este procedimiento es como sigue:

Veamos el mismo ejemplo expuesto para el cálculo del rendimiento, donde el rendimiento esperado de los títulos A y B eran respectivamente 45% y 52%. Ahora se añade el riesgo de cada título A y B, quedando A = 6,5% y B = 10,0%. Si se conserva el mismo peso del segundo cálculo, o sea WA = 0,40 y WB = 0,60, y al calcular la covarianza esta es de Cov(AB) = -17,55; el cálculo del riesgo de la cartera es como sigue:

Rc²AB = 0,40²*6,5² + 0,60²*10² + 2*0,40*0,60*-17,55Rc²AB= 34,336

Riesgo cartera =Raiz cuadrada de 34,336 = 5,86%

Nótese que el riesgo de la cartera (desviación estándar) es más bajo que el riesgo de cada título tomado individualmente, lo cual ocurre debido a la covarianza negativa entre el título A y el B. Puede comprobarse que el riesgo de la cartera será más bajo que el riesgo de cada título incluido en ella, si el coeficiente de correlación es menor que el índice resultante de dividir el riesgo más pequeño entre el riesgo más grande, es decir, en este caso, si RAB < A/B. Como puede verse, el coeficiente de correlación RAB = -0,27 es menor que 0,65, (o sea 6,5/10,0); existiendo en esta situación un beneficio de realizar la diversificación, pues se obtiene una rentabilidad de la cartera: Rc = 49,2% y un riesgo de cartera de c =5,86%.

Lo anterior demuestra el beneficio que puede resultar de combinar títulos valores que sean menos que perfectamente correlacionados positivamente, pues como exponen R. Brealey y S. Myers (20), la diversificación reduce el riesgo sólo cuando la correlación es menor que 1, donde el mejor resultado de la diversificación se produce cuando los dos títulos están perfectamente correlacionados negativamente, o sea cuando el coeficiente de correlación es -1. Desafortunadamente, esto casi nunca ocurre con las acciones existentes en la realidad.

Para visualizar los beneficios de la diversificación, considérese los datos de la tabla 3-05, los cuales son graficados en las figura 3-06A al 3-06D. Como puede verse, en el caso donde los dos títulos están perfectamente correlacionados, o sea RAB = 1, el riesgo de la cartera es simplemente el promedio ponderado del riesgo de cada título contemplado en la cartera, lo que indica que no hay beneficio de la diversificación. La línea desde A hasta B representa varias proporciones invertidas en los títulos A y B, los cuales están perfectamente correlacionados positivamente. Por su parte, en el caso donde dos títulos están perfectamente correlacionados negativamente, el rendimiento y el riesgo de la cartera, para varias proporciones de los títulos A y B, son graficados en la recta desde C a B y desde C hasta A. Obsérvese la reducción del riesgo de la cartera que ocurre cuando la proporción de estos títulos correlacionados perfectamente de manera negativa son cambiados, donde hay una proporción del título A y de B que reduce a cero el riesgo de la cartera, la cual puede ser determinada matemáticamente por la siguiente relación:

Ecuación 3-06

En la realidad los títulos casi nunca están perfectamente correlacionados positiva o negativamente. Ellos se mueven en un rango entre -1 y 1. La curva B hasta A representa el gráfico de los activos no correlacionados, o sea donde R = 0, el cual se obtiene cambiando las proporciones invertidas en cada título. En la figura 3-06D, el área en el medio círculo representa la situación donde el coeficiente de correlación está entre cero y uno.

3.3.1.3. FRONTERA EFICIENTE

En páginas anteriores se argumentó que el objetivo de la inversión es maximizar el rendimiento para un dado nivel de riesgo, tanto en inversiones individuales como en carteras. Entonces, la tarea del analista es hallar aquella combinación de títulos, del universo de títulos, que ofrezcan el más alto rendimiento de la cartera para varios niveles de riesgo.

Así, para un universo de N títulos, hay un alto número de combinaciones que pueden ser tomadas para conformar carteras de inversión, donde teóricamente la frontera eficiente podría ser generada por graficar este alto número de combinaciones, o carteras, en un espacio de riesgo retorno. Sin embargo, obviamente este no es un muy buen método para generar la frontera eficiente, por lo que Harry Markowitz aplicó la técnica de programación cuadrática para generar los puntos en la frontera eficiente, donde el algoritmo (serie de operaciones sistemáticamente lógicas) de programación cuadrática es capaz de hallar aquella combinación de títulos, y las proporciones de ellos, que maximizan el rendimiento de la cartera para varios niveles de riesgo. En otras palabras, tal algoritmo genera una serie de carteras en la frontera eficiente, en una combinación de rendimiento-riesgo. Ver gráfico 3-07.

Una dificultad en la aplicación del modelo de Markowitz es la demasiada cantidad de términos de datos para generar la frontera eficiente, aún para un número limitado o pequeño de títulos. Así, una cartera de N títulos requiere N rendimientos esperados, N desviaciones estándar, y (N² - N)/2 covarianzas, o sea se requerirá:

- N rendimientos esperados de los N títulos que se consideren.

- N desviaciones estándar (riesgo de los N títulos considerados) y

- N(N-1)/2 covarianzas entre los títulos considerados.

En total se requiere N + N + N(N-1)/2 = N(N + 3)/2 estimaciones.

Por ejemplo, una cartera de 20 títulos requiere 230 términos en total como datos y una cartera de 100 títulos requerirá 5150 estimaciones. Este elevado número de términos limita el uso práctico de este modelo aún con la ayuda de la computación, sobre todo cuando se tratan de analizar carteras con ya más de 10 títulos. De todas formas, la ayuda de la computación ha sido importante para que dicho modelo por lo menos haya empezado a ser utilizado, ya que de manera manual es muy difícil.


4.3.2. MODELO SIMPLIFICADO DE SHARPE

Considerando la dificultad señalada en el modelo de covarianza de Markowitz, el autor William Sharpe (21) desarrolló una técnica que reduce dramáticamente los requerimientos de estimaciones necesarios para el análisis de una cartera de inversión.

Sharpe supone que todos los títulos valores están linealmente relacionados con el índice del mercado, o en otras palabras que la dependencia estadística entre los rendimientos de los diferentes títulos no es una dependencia directa, sino derivada de la relación existente entre esos rendimientos y un grupo fundamental de índices: producto nacional bruto, índice general de precios, renta por habitante, índice general de la Bolsa, etc., representativos de la evolución de la actividad económica. Sharpe estudió primero el caso en el que el rendimiento depende de un índice solamente, tomando el índice bursátil o índice de mercado, el cual se considera es el que mayor influencia ha ejercido en la literatura económico financiera posterior.

La interrelación entre los rendimientos de los títulos y el índice del mercado fue expresada, según Sharpe, mediante la ecuación de la línea característica, el cual es un modelo econométrico, tal como sigue:

Ecuación 3-07

Como fue expuesto anteriormente, las variables de la línea característica representan:

ERi = Rendimiento esperado del título i durante el período de referencia.

i = Rendimiento del título i cuando el rendimiento del mercado es cero.

i = Relación entre el rendimiento del título i con el mercado. Medida de sensibilidad del mercado.

ERM = Rendimiento del mercado. Indice bursátil representativo del mercado.

EEE= Error estándar de estimación (perturbación aleatoria). Representa todos aquellos factores , individualmente irrelevantes, que influyen en el valor de Ri y que son independientes del mercado.

Así entonces, el modelo asume que los títulos están relacionados uno a otro mediante su interrelación con el mercado, por lo que en vez de calcular las covarianzas de todas las combinaciones de títulos (como lo hace el modelo de Markowitz), aquí se toma en cuenta esta interrelación y se utiliza para el análisis respectivo.


3.3.2.1 RENDIMIENTO DE LA CARTERA SEGUN SHARPE

Según este modelo, el rendimiento de la cartera de inversión es el promedio ponderado de los rendimientos de cada título valor individual estimado para cada uno mediante su línea característica. Matemáticamente se expresa:

Ecuación3-08

Hasta aquí, a pesar de que la principal preocupación de Sharpe consistió inicialmente en simplificar o reducir el número de estimaciones a la hora de efectuar el análisis de una cartera (considerando las dificultades del modelo de markowitz) según la ecuación 3-07 expuesta, el modelo no parece tan simplificado, sobre todo en cálculo y datos, pues aquí se debe conocer o calcular previamente la línea característica de los N títulos que se quieran contemplar en la cartera, lo cual no es tan sencillo, ya que son N ecuaciones de regresión que se deben resolver para alfa, beta y el error estándar de estimación. Además se necesita el dato del índice del mercado, cuya base temporal debe coincidir con la de Ri. Hasta aquí, o sea hasta calcular el rendimiento esperado de la cartera, la facilidad se inclina a favor del modelo de Markowitz, donde sólo bastaba conocer el rendimiento de cada título y porcentaje a invertir de cada uno.

Supóngase el siguiente ejemplo: Se tienen 4 acciones que se denominarán acción A, B, C y D y cuyos resultados en términos de rendimiento para diez observaciones anuales son:

Para poder calcular la rentabilidad de la cartera según Sharpe, se debe primero calcular la Línea Característica de cada uno de los títulos A, B, C y D, lo cual ya se expuso cuando se trató el análisis de títulos valores individuales. Así, después de realizar el cálculo de la Línea características para cada uno de los títulos valores del ejemplo, con el modelo ya conocido, los resultados son los siguientes:

ERA = 12,91601 + 0,6388531*Rm + 2,553516

ERB = -70,22957 + 2,282117*Rm + 2,119922

ERC = 137,7282 + (-1,177541*Rm) + 2,244141

ERD = 85,14942 + (-0,7360779*Rm) + 4,770313

Otros datos obtenidos en los cálculos son la rentabilidad del mercado (Rm) y el riesgo del mercado (RM), resultando Rm = 59,3% y RM = 7,376323%.

Entonces, la rentabilidad de la cartera según Sharpe, para igual proporción invertida en cada título (es decir 25% en cada uno), se calcula como sigue:

Rc = 0,25*[12,91601 + 0,6388531*59,3] + 0,25*[-70,22957 + 2,282117*59,3]

+ 0,25*[137,7282 + (-1,177541*59,3)] + 0,25*[85,14942 + (-0,7360779*59,3)]

Rc = 56,325


REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

1 STEVENSON, R. y JENNINGS, E. Ob. Cit. p. 233

2 SUAREZ S., Andres S. Ob. Cit. p. 445

3 SUAREZ S., Andrés S. Ob. Cit. p. 445

4 BREALEY R. y MYERS S. “Principios de Finanzas Corporativas”, Editorial McGraw-Hill, 2da. Edición, España, 1988. p.150

5 EZCURDIA E., Luis. Ob. Cit. p. 120/1

6 WESTON, F y BRIGHAN, E. “Finanzas en Administración”. McGraw-Hill, 7ª. Edición, México, 1984, p. 501

7 WESTON, F. Y BRIGHAN, E. Ob. Cit. p.

8 FRANCIS, Jack C. Ob. Cit. P. 476

9 KOLB, Robert W. Ob. Cit. p. 464

10 STEVENSON, R y JENNINGS, E. Ob. Cit. p.243

11 SUAREZ S., Andrés S. Ob. Cit. p. 456

12 SUAREZ S., Andrés S. Ob. Cit. p. 462

13 SUAREZ S. Idem.

14 COHEN, K. y POGUE, G. A. "An Emprical Evaluation of Alternative Portfolio Selection Models". Journal of Business, Avril 1967. Citado por JACKILLAT Y SOLNICK. Ob. Cit. p.107.

15 SUAREZ S. Andrés S. Ob. Cit. p. 448

16 FRANCIS, Jack C. Ob. Cit. P. 490

17 EVANS, J. L. y ARCHER, S.H. Ob. Cit. p. 34

18 MARKOWITZ, Harry M. "Portfolio Selection". Eficient Diversification of Investment". Willey, New York, 1959.

19 BREALEY, R. y MYERS, S. Ob. Cit. p. 160

20 BREALEY, R. y MYERS, S. Ob. Cit. p. 161

21 SHARPE, William. F. “An Simplified Model for Portfolio Analysis”. Management Science. Vol. 9 No. 2, 1963. p. 277.