En su forma más operativa, el modelo de Baumol supone que los saldos de efectivo de una empresa se comportan, a lo largo del tiempo, como un patrón de dientes de sierra, según se muestra en la figura 1. Los ingresos se perciben en intervalos periódicos, en un solo momento o en cuasi un solo momento en el tiempo 0, 1, 2, 3 y así sucesivamente; los gastos ocurren en forma continua en los periodos. Puesto que el modelo supone certeza, la empresa puede adoptar una política optima que exija la colocación o inversión de I unidades monetarias en una cartera de inversión a corto plazo, de rápida convertibilidad (generalmente alternativas en Bancos y otros Institutos Financieros), al inicio de cada periodo, y posteriormente retirar C unidades monetarias de la inversión para la cuenta de efectivo en la empresa, a intervalos regulares durante el período. El modelo debe, desde luego, tener en cuenta los costos fijos y variables de las transacciones de inversión y de retiro, y los costos de mantener saldos de efectivo en caja.

Figura 1.

Patrón de Baumol de ingresos y gastos

Efectivo

Tiempo

Las variables de decisión a las que se enfrenta el administrador financiero para un solo período se ilustra en la figura 2. El administrador tiene un monto de efectivo igual a T para las transacciones de período. Se retiene una porción del efectivo inicial disponible (la primera caja), llamada R, o sea que R es igual a R=T-I, es decir lo que se tenia disponible menos lo que se envía a inversión., mientras que el saldo o cantidad restante se envía a inversión, llamada I en la forma de efectivo, se invierte en una cartera de activos líquidos a corto plazo (o sea de rápida convertibilidad cuando se requieran) para que ganen una tasa de rendimiento: í. El primer efectivo retenido en caja, R, es suficiente y necesario para satisfacer los gastos durante el periodo de t1 a t2. Una cantidad adicional de C unidades monetarios (bolívares en nuestro país) será transferida de la cuenta de inversiones a la cuenta de efectivo en el momento t1para cubrir gastos para el periodo que va desde t1 a t2, y entonces C unidades monetarias serán retirados nuevamente en los momentos t2 y t3 hasta que se agota. En ese momento ingresos de T unidades monetarias llegan nuevamente hacia la cuenta de efectivo, y se repite el mismo proceso durante el siguiente período.

Figura 2:

Transferencias de efectivo a valores y viceversa, según Baumol

Si se supone que los desembolsos son continuos y uniformes, entonces R = T-I unidades monetarias retenidas (dejadas en caja) desde el primer momento inicial de efectivo, servirán para satisfacer los pagos durante una fracción del período entre ingresos iguales a (T-I)/T veces la duración de dicho período.

Tal como lo expone Van Horne James (1) "El objetivo es especificar el valor de C que minimice los costos totales, es decir, la suma de los costos fijos asociados con los traspasos y el costo de oportunidad de las utilidades perdidas al mantener saldos de efectivo. Estos costos se pueden expresar como: b(T/C) + i(C/2)".

Como puede verse esta fórmula no considera los costos variables ni de colocación ni de retiro que pueden existir en las transacciones necesarias de efectuar. Weston y Brighan (7ª. edición) y Weston y Copeland (8ª. edición) si los consideran al calcular el Costo total de administración del efectivo. (2)

En esta fórmula de costo total de administración del efectivo, las variables son:

T = Cantidad total de efectivo en poder del Tesorero al inicio del periodo de administración

(también se conoce como la demanda total de efectivo durante el período de administración del efectivo);

b = Costo fijo de transacción (es fijo porque es generalmente independiente del monto colocado o retirado);

i = tasa de interés para valores negociables vigente, la cual se supone constante, y la cual es seleccionada por el administrador financiero para invertir el saldo;

C/2 = Saldo de efectivo promedio;

T/C = Numero de transacciones durante el período

Entonces la caja optima se obtiene cuando el costo marginal c’ es cero, o sea: c’ = 0, por lo que para calcular el nivel óptimo de C se deriva la ecuación del costo total de administración del efectivo, para hallar el c’; se iguala a cero y se despeja C, para obtener óptima o sea C*.

¶ CTAE/¶ C = ¶ b*(T/C) + ¶ i*(C/2) = (bT-C*0)/C² + (iC*0 - 2*i)/4 = bT/C² - i/2

Igualando a cero se tiene: bT/C² - i/2 = 0

Despejando C se obtiene:

2 * b * T

C = (--------------------)¹/²

i

Según este enfoque el No. De Cajas óptimo Nc* es igual a T/C* y el tiempo de retiro de caja Tc* es igual a No. De días en el periodo de administración /Nc*. Aquí todas las cajas, incluyendo la cantidad inicial dejada en caja, son iguales.

Sin embargo, como también existen costos variables de transacción (de colocación y de retiro), los cuales son variables porque están en relación con la cantidad que se deposita o se retira (Debe observarse que según este modelo solo existe un solo depósito pero si varios retiros), entonces la cantidad inicial dejada en caja, o sea R, según Weston y Copeland (3) viene dado por:

R = C* + T * (kd + kw)/i

Donde kd = costo variable de colocación o depósito y kw = costo variable de retiro.

En este caso, entonces la cantidad óptima del número de cajas (No. C) se determina mediante:

T - R

No. C = -----------------------

C*

Y entonces el Tiempo óptimo de caja (Tc*) vendrá dado por la siguiente ecuación:

No. Días en el periodo

Tc* = ----------------------------------

No. De cajas*

Asimismo, el costo total de administración del efectivo (CTAE) sufre algunos cambios para que se cumpla que en el óptimo, donde el costo total de administración del efectivo se hace mínimo, el costo total de transacción es igual al costo total de oportunidad, o sea CTT = CTO cuando c´ = 0. Entonces

CTAE = b _* No. Transacciones + i _* Saldo de caja promedio

CTAE = b * (T – R)/ C* + i * ( C / 2 ) * (T – R) / T

Ejemplo: En la empresa Asesores de Productividad, C.A. (APCA) se estima que al inicio del próximo cuatrimestre se recibirán Bs. 36.000.000 por varios trabajos de asesoría realizados en 1999. La Junta Directiva desea administrarlos óptimamente durante ese lapso que se inicia el 02/05/2000. Se estiman costos fijos de transacción por el orden de Bs. 10.000,oo y costos variables de colocación del 0,05% y de retiro del 0,5% (IDB). El rendimiento para inversiones temporales se espera sea del 14%. Se desea determinar la Caja óptima, el No. De Cajas, el tiempo de caja y el Costo total de administración del efectivo.

Los datos son: el periodo de administración es de 120 días.

T = 36.000.000 Bs.

b = 10.000,oo Bs.

i = 0,14

Cvc = kd = 0,05%

Cvr = kw = 0,5%

2 * 10.000 * 36.000.000

C * = ----------------------------------------------- = 3.927.922,02 Bs.

0,14/3

0,0005 + 0,005

R = 3.927.922,02 + 36.000.000 * (---------------------------) = 8.170.779,17 Bs.

0,14/3

( 36.000.000 – 8.170.779,17)

No. De cajas óptimo = ------------------------------------------- = 7,085

3.927.922,02

120 días

El Tiempo de caja óptimo será: Tc* = ------------------- = 16,94 días

7,085 cajas

27.829.220,84

Y entonces CTAE = 10.000,oo _* 7,085 + 0,14/3 _* 3.927.922,02 / 2 _* ------------------

36.000.000,oo

CTAE = 70.850,00 Bs. + 70.849,73 = 141.699,73

Esto es sin considerar costos variables de colocación y de retiro, por lo que si se consideran estos debe entonces sumarse, ya que la fórmula sería:

CTAE = CTT + CTO + CTc + CTr = 70.850,00+ 70.849,73+ (0,0005 + 0,005) _*27.829.220,84

CTAE = 141.699,73 + 153.060,71 = 294.760,44 Bs.

El administrador financiero conoce todas las partidas listadas como información de entrada, pero no conoce C, R, I o CTAE. Usando las fórmulas anteriores el administrador obtiene C, después calcula R, a partir de la cual también puede obtenerse I. Así, el administrador tiene ya toda la información requerida para calcular el CTAE, o sea la función de costo total para la administración del efectivo. Cuando el tamaño de los retiros de efectivo C es óptimo, R e I serán también óptimos).

MODELO DE MILLER Y ORR

Posteriormente, en 1966, Merton Miller y Daniel Orr, analizando el modelo de Baumol y considerando que este es aplicable a solo algún tipo de empresas que tengan ese supuesto de comportamiento de entrada del dinero, así como ese comportamiento de salida continua y uniforme, siendo más aplicable a personas (sus ingresos mensuales) que a empresas, ya que en estas últimas los cambios diarios del saldo de efectivo (flujo de caja neto, o sea Ingresos – Egresos) podrían subir o bajar siguiendo un comportamiento o patrón irregular e impredecible, a través de un determinado período, tal como se puede visualizar en la figura 3, ampliaron el modelo de Baumol introduciendo un proceso de generación aleatoria para los cambios diarios en el saldo de efectivo. Esto significa que los cambios en el saldo de efectivo, a lo largo de un período, son aleatorios tanto en tamaño como en dirección, tendiendo a una distribución normal a medida que aumenta el número de períodos observados (por lo menos dos meses, o sea 44 o 60 días, si se trabaja cinco días a la semana o todos los días). Así, de manera general, cuando el saldo sube durante un cierto tiempo y se alcanza un punto determinado, entonces el administrador financiero ordena una transferencia de una cantidad de efectivo a inversiones temporales (o sea coloca una determinada cantidad de efectivo) por lo que el saldo de efectivo vuelve a un nivel más bajo. Por el contrario, cuando el nivel de efectivo durante algún periodo llegan a un nivel my bajo o cero, las inversiones son vendidas haciéndose una transferencia a la cuenta de efectivo en la empresa, para llevar a un nivel más alto el saldo de efectivo. Según los autores, el modelo permite el conocimiento a priori de que los cambios en un cierto momento tienen una mayor probabilidad de ser positivos o negativos.

Figura 3

Patrón de ingresos y gastos de algunas empresas

El modelo de Miller y Orr se basa, tal como en el modelo de baumol, en una función de costos que incluye el costo de hacer transferencia hacia y desde el efectivo (Costos fijos y variables de transacción) y el costo de oportunidad por mantener efectivo en caja. A los cambios en el saldo de efectivo se les permite ascender hasta alcanzar un nivel H (que se calculará) antes de decidir reducirlo hasta un nivel óptimo de caja llamada Z, invirtiendo entonces la diferencia entre el monto al que ha llegado y Z. Al continuar las operaciones diarias si se alcanza el punto mínimo (cero o un saldo mínimo de caja prefijado), se hacen líquidos una parte de la inversión para llevar el efectivo otra vez al valor Z. Ver figura 4

Figura 4

Modelo de Miller y Orr de Administración del efectivo

Entonces, el modelo calcula el límite superior H y el punto al cual debe devolverse el saldo de caja después de cada transferencia desde o hacia la cuenta de efectivo, o sea Z, de manera de que se minimice la función de costo total de administración del efectivo.

Los autores expresan la función de costo como: E(c)= b * E(N)/T + i * E(m), donde:

E(N) = Número esperado de transferencias entre el efectivo y la cartera de inversiones durante el período planeado;

b = Costo fijo por transferencia;

T = Número de días en el período de planeación;

E(m) = Saldo diario promedio esperado de efectivo;

i = Tasa de interés diaria ganada sobre la cantidad invertida.

Por lo que como el objetivo es minimizar Ec mediante el cálculo de las variables H y Z, o sea el límite superior y la cantidad óptima de caja, entonces la solución, tal como la deriva Miller y Orr se convierte en:

3_*b_*Var(FNC)

Z^* = (-----------------------------------)¹/³

4 _* i/365

y H será 3 veces más grande que Z, (en el caso especial de que la probabilidad p de que los saldos de efectivo aumenten sea igual a 0,5 y la probabilidad q de que disminuyan sea de 0,5), es decir:

H^* = 3 _* Z^*

Si existe saldo mínimo de caja (SM), entonces

Z* = Z*inicial + SM

H* = H*inicial + SM

La varianza de los cambios diarios de efectivo está representada por s ². Tal como puede verse en la fórmula y como se esperaría a nivel empírico, entre mayor sea b y/o la varianza de los flujos netos de caja, implica una mayor esparcimiento entre los límites de control superior e inferior (H y SM). Recuérdese que la Varianza es la desviación estándar elevada al cuadrado.

Ejemplo: En una empresa distribuidora de alimentos al menor y al mayor se espera que el saldo promedio esperado de efectivo sea de Bs. 900.000, con una desviación estándar de Bs. 80.000,oo. Se estiman costos fijos de transacción de Bs. 10.000,oo y una tasa de rendimiento sobre las inversiones de 15%. Se requiere una administración óptima del efectivo. No hay saldo mínimo en la empresa.

Datos:

b = 10.000 Bs.

Var(FNC) = (80.000)²

i = 0,15

3 _* 10.000,oo _* (80.000,oo)²

El valor de Z* = (-----------------------------------------------)¹/³ = 488.818,48

4 _* 0,15/365

H* = 3 _* 488.818,48= 1.466.455,44 Bs.

Si la empresa considera un saldo mínimo de caja de Bs. 50.000,oo, entonces:

Z* = 488.818,48Bs. + 50.000,oo Bs. = 538.818,48Bs.

H* = 1.466.455,44Bs. + 50.000,oo Bs. = 1.516.455,44 Bs.

Como sucede con la mayoría de los modelos para la determinación óptima de alguna variable, el desempeño del modelo de Miller y Orr dependerá de que tan bien se acerquen a la realidad las predicciones del número esperado de transferencias y del saldo promedio esperado y de que tan bien se realicen las estimaciones de las variables implícitas en el mismo, tales como el costo fijo de transacción (b) y la tasa de interés (i) ganada por las inversiones de rápida convertibilidad.

MODELO DE WILLIAM BERANEK

En 1963, el especialista en finanzas William beranek, en un capítulo de su texto Analysis for Financial Decisiones (Análisis para la toma de decisiones financieras), enfoca el problema de determinar la decisión óptima entre el saldo de efectivo y los valores negociables, en relación con los fondos disponibles. Según él, para el análisis de los problemas de administración de efectivo es útil considerar las salidas (desembolsos) o egresos de efectivo como si fueran directamente controlables por la administración, realizados todos (abultados) en un determinado momento, mientras que los ingresos considerarlos como poco controlables y realizados de manera continua a través del período.. Sería entonces lo inverso del modelo de Baumol, un dientes de sierra pero al revés, tal como se ilustra en la figura 5.

Figura 5

Modelo de Beranek de administración del efectivo

La técnica difiere de la de Baumol en el sentido de que contempla o incluye una distribución de probabilidades de los flujos esperados de efectivo y una función de costos para la pérdida de descuentos por pago en efectivo y para el deterioro de la reputación de crédito cuando la empresa tiene insuficientes saldos de efectivo en un determinado momento que le es requerido (costos por corto). La variable de decisión en este modelo es la aplicación de fondos entre el efectivo y las inversiones al inicio del período, contemplando también el supuesto de que las inversiones se pueden retirar sólo al final de cada período de planeación.

Así, mientras los flujos de salida de efectivo sean controlables y ocurran en una forma cíclica, el administrador financiero puede estimar o predecir las necesidades de efectivo al final de un determinado período de planeación, e invertir esa porción de fondos que se espera no necesitar durante en el transcurso del período.

En el modelo se considera que el Administrador Financiero (o el Tesorero) tiene disponibles al inicio del período la cantidad de k unidades monetarias (bolívares en este país). El espera que el flujo neto de efectivo (entradas menos salidas) al final del período sean de y unidades monetarias (positivo o negativo, o sea déficit o superavit) con una distribución de probabilidad de g(y). El objetivo de una adecuada administración del efectivo consistente en la maximización de los rendimientos mediante una inversión en valores negociables (de rápida convertibilidad e incluso a plazo pero de corto plazo), está restringido por: los costos de las transacciones y el riesgo de quedarse sin dinero cuando se necesite para realizar algún gasto. Así, Beranek considera, como ya antes se señaló, que " los costos por corto" consisten en los descuentos perdidos por no tener efectivo y por el deteriore de la reputación del crédito cuando esta no puede satisfacer los pagos a tiempo. También puede considerarse el "costo por corto" como el costo de pedir financiamiento (prestado) a corto plazo, generalmente una línea de crédito, puesto que indudablemente la empresa podría preferir préstamos a corto plazo en vez de perder descuentos por pago en efectivo o permitir que se deteriore su reputación de crédito.

Así, para deducir y determinar la asignación óptima según Beranek (4), se manejan las siguientes variables (con la misma nomenclatura seguida por el autor):

y = Salida neta de caja;

g(y) = Distribución de probabilidades de y;

y* = saldo mínimo crítico;

k = Total de recursos del Tesorero al inicio del período;

a = costo por corto incrementado, por unidad monetario (por cada bolívar);

d = Rendimiento (o beneficio) neto incrementado por cada unidad monetaria de inversión;

C = Saldo inicial de caja.

Como ya se señaló el Tesorero tiene k unidades monetarias para decidir su asignación entre el saldo inicial de caja C y valores negociables. Si inicialmente se hace que C = k, o sea que la cantidad inicial de caja sea igual a la cantidad inicial en poder del tesorero, entonces puede demostrarse que el efectivo pasará del saldo inicial a los valores hasta que se satisfaga la siguiente condición señalada en el siguiente integral definido con valor superior igual a y = y*-C, mientras que el valor inferior es – infinito, tal como puede verse en el siguiente integral definido:

y = y* - C

g(y)dy = d/a

- ¥

En otras palabras, el dinero es transferido del saldo inicial a los valores negociables hasta que la probabilidad acumulativa de la distribución básica sea igual a d/a. Puede fácilmente verse o deducirse de la ecuación planteada que si d >= a, entonces la cantidad total de recursos del Tesorero se invierte en valores negociables.

La cuestión está en, conociendo ciertos datos, resolver para calcular primero la salida neta de caja y, después determinar C*, o sea el saldo inicial en caja, y por último calcular la cantidad a ser invertida en valores I, la cual vendrá dada por I = k – C*.

Al respecto es importante exponer lo señalado por Beranek (5) cuando dice: "La solución a este modelo es válida con tal de que la empresa pueda quedar "corta" de efectivo dentro del período, sin incurrir en una sanción. Si este no es el caso , entonces el saldo inicial óptimo es igual al mínimo crítico. Esto provine del hecho de que el costo neto esperado sube continuamente para todo los valores de C más allá de C*. De ahí que si el valor de C*, que se supone ha de ser menor que el mínimo "crítico", es un saldo inadmisible, entonces el saldo óptimo debe ser igual al mínimo crítico".

Ejemplo: El Tesorero de una empresa cree que su distribución básica del saldo de caja se realiza de un modo casi normal con un valor esperado de 6.600.000 Bs. y que es de 0,25 la probabilidad de que la caja exceda de 7.260.000 Bs.. La desviación estándar es pues de 979.228 Bs. El departamento de contabilidad estima los costos cortos incrementados en 0,28 por cada bolívar por debajo del mínimo crítico que es de 7.920.000 Bs.; mientras que el rendimiento neto incrementado para el período, de valores negociables es de 0,085 por cada bolívar de inversión. La cantidad en poder del Tesorero es de Bs. 5.000.000,oo.

Datos:

k = 5.000.000 Bs.

a = 0,28 d = 0,085

y* = 7.920.000 Bs.

y = ?

C* = ?

I = ?

 Puesto que la probabilidad acumulativa d/a es igual a 0,085 / 0,28 = 0,3035, el valor de Z (en la tabla de la normal) correspondiente a esa probabilidad de 0,3035 es aproximadamente igual a - 0,515, entonces el valor de y viene determinado por:

y – 6.600.000

Z = ------------------------ = - 0,515

979.228

de donde al despejar a y se obtiene: y = 6.600.000 + ( - 0,515 _* 979.228) = 6.095.697,58 Bs.

Entonces conociendo que y = y* - C despejamos C = y* - y

C = 7.920.000 Bs. – 6.095.697,58 Bs. = 1.824.302,42 Bs.

Y la cantidad invertida en valores negociables I será entonces:

I = k – C = 5.000.000,oo Bs. - 1.824.302,42 Bs. = 3.175.697,58 Bs.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

1. VAN HORNE, James. Administración Financiera. Editorial Prentice Hall, 9ª. edición, Pag. 421
2. WESTON, Fred y COPELAND, Thomas. Finanzas en Administración. Editorial McGraw-Hill, México, 8ª. edición. Tomo I, Pag. 328
3. Idem
4. BERANEK, William. Análisis para la Toma de Decisiones. Editorial Labor., Barcelona, España, 1978, Pag. 430
5. Ibid, Pag. 427

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

BERANEK, William. Análisis para la Toma de Decisiones. Editorial Labor., Barcelona,España, 1978.

MARTIN, John D. y otros. Basic Financial Management. Editorial Prentice Hall, USA5ª. Edición, 1991.

SUAREZ SUAREZ, Andrés. Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa.Editorial Pirámide, España, 4ta. Edición., 1996.

VAN HORNE, James. Administración Financiera. Editorial Prentice Hall, Mexico, 9ª. edición, 1993.

WESTON, Fred y COPELAND, Thomas. Finanzas en Administración. Editorial McGraw-Hill, Mexico, 8ª. edición, 1988.

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